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Im ersten Teil haben wir Sinuswerte über bekannte Stützstellen angenähert. Diese Variante ist elegant, setzt aber voraus, dass einige Werte wie sin(20°), sin(30°) oder sin(40°) im Kopf verfügbar sind.

Hier betrachten wir deshalb eine zweite Näherung, die ohne gespeicherte Sinuswerte auskommt. Der Preis dafür ist etwas mehr Rechenarbeit.

Die alternative Näherungsformel

Für kleinere Winkel verwenden wir:

Auch hier hilft der Faktor 1000 dabei, Dezimalzahlen möglichst lange zu vermeiden. Die Rechnung besteht im Kern aus einem Produkt d(d+1), einer Division, einer Subtraktion und einer abschließenden Multiplikation.

Beispiel: sin(29°)

Der erste Schritt ist bewusst einfach gewählt: 29 × 30. Solche Produkte benachbarter Zahlen lassen sich häufig schneller berechnen als eine beliebige Multiplikation.

Auch die Teilrechnungen kann man vereinfachen

Eine Näherungsformel ist nur dann kopfrechentauglich, wenn die einzelnen Multiplikationen ebenfalls geschickt behandelt werden. Bei 2,9 × 167,15 bietet sich an, 2,9 als 3 − 0,1 zu denken.

Wie unterscheidet sich diese Methode von Teil 1?

Die Stützstellen-Methode ist meist schneller, wenn die wichtigsten Sinuswerte ohnehin bekannt sind. Diese zweite Formel ist dagegen interessant, wenn du möglichst wenig auswendig lernen möchtest und bereit bist, dafür einige zusätzliche Rechenschritte zu machen.

Woher kommen solche Näherungen?

Im Hintergrund steht die Tatsache, dass sich Funktionen lokal durch Polynome annähern lassen. Beim Sinus führt das unter anderem zur Taylor-Reihe:

Für die eigentliche Kopfrechnung musst du diese Reihe nicht auswerten. Sie erklärt aber, warum eine scheinbar komplizierte trigonometrische Funktion überhaupt durch Additionen, Multiplikationen und Divisionen angenähert werden kann.

Genau deshalb gehört dieser Themenbereich zur Nerd-Ecke von kopfrechnen.org: Nicht weil die Methode im Alltag ständig gebraucht wird, sondern weil sie zeigt, wie weit man die Idee des Rechnens ohne Instrumente treiben kann.