Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025.

Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42.

\(42^2 \)

Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt

So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.

2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).

3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760

4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier \(2^2 \), und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + \(2^2 \). 1760 + 4 = 1764

Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.

Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + \(4^2 \) und erhalten somit 2900 + 16 = 2916

Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:

1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9

Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68.

Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.

Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464

Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.