Sinus- Kopfrechentrick (Teil 2)

Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr hier findet.

Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen:

Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus:

\(1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 – \frac{a \times d}{40}) \)

Was hier stört ist eindeutig der Teil: \(1000 \times {\rm sin}(a)\)
Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können.
Wir erinnern uns: \({\rm sin}(x) = 0,99989 \times x – 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5 \)

Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können

\(1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 – \frac{d \times (d+1)}{120}) \)

Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt)

Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten

\(1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 – \frac{29 \times (30)}{120}) \)
Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – \frac{870)}{120}) \)
Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – 7.25) \)
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15 \)
Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735 \)
\({\rm sin}(29) = 0.484735 \)

In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809

Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick.

Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf.

\(1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{35 \times (36)}{120}) \)
Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (siehe Kopfrechentrick Endziffer 5)
\(1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{1260)}{120}) \)
Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5
\(1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9 \)
Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65
\(1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65 \)
\({\rm sin}(35) = 0.57365 \)

Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357
Der relative Fehler beläuft sich hier auf:  0,139%

Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.